مسائل تعتمد على إيجاد قيمة مجهول (س) من خلال معادلة أو متباينة أو نمط عددي. الاستراتيجية الأسرع غالبًا: التعويض من الخيارات بدل حل المعادلة كاملة، خصوصًا في المسائل اللفظية المعقّدة كمسائل الأعمار.
ستتعلم كيف تجد قيمة المجهول (س) في معادلة. الفكرة كلها في قاعدة واحدة: المعادلة ميزان، وما تفعله في طرف تفعله في الآخر. وأكثر الأخطاء تقع في خطوتين: توزيع العدد على القوس، ونقل الحدود مع إشاراتها.
المعادلة جملة رياضية فيها مساواة ومجهول: ٣س + ٥ = ٢٠. وحلها إيجاد قيمة المجهول التي تجعل الطرفين متساويين (س = ٥).
القاعدة الأم: المعادلة ميزان؛ ما تفعله بطرف تفعله بالطرف الآخر (جمع، طرح، ضرب، قسمة)، فتبقى المساواة قائمة.
خطوات الحل في المعادلة ٢(س − ٣) = س + ٥:
| الخطوة | النتيجة | الخطأ المتوقع |
|---|---|---|
| التوزيع | ٢س − ٦ = س + ٥ | ٢س − ٣ (لم يوزع على −٣) |
| نقل س إلى اليسار | ٢س − س − ٦ = ٥ | ٢س + س (نسي قلب الإشارة) |
| نقل −٦ إلى اليمين | س = ٥ + ٦ | س = ٥ − ٦ |
| الناتج | س = ١١ | س = −١ أو س = ٨ |
| التحقق | ٢(١١ − ٣) = ١٦ = ١١ + ٥ ✓ | لا يتحقق |
| معادلة بكسر: س/٤ = ٦ | س = ٢٤ | س = ١٫٥ (قسم بدل الضرب) |
ستتعلم حل المتباينات، وهي كالمعادلات تمامًا في خطواتها، إلا في قاعدة واحدة هي سبب وجود هذا الدرس: إذا ضربت الطرفين أو قسمتهما على عدد سالب انعكس اتجاه المتباينة.
المتباينة جملة فيها مقارنة بدل المساواة: س + ٣ > ٧ (أكبر من)، ٢س ≤ ١٠ (أصغر من أو يساوي). وحلها مجموعة قيم لا قيمة واحدة: س > ٤.
تُحل بخطوات المعادلة نفسها، مع قاعدة واحدة تفرّقها: الضرب أو القسمة على عدد سالب يعكس اتجاه المتباينة.
متى ينعكس الاتجاه؟
| العملية | مثال | الاتجاه |
|---|---|---|
| طرح من الطرفين | س + ٥ < ٩ ⇒ س < ٤ | ثابت |
| قسمة على موجب | ٤س ≥ ٨ ⇒ س ≥ ٢ | ثابت |
| قسمة على سالب | −٢س ≥ ٨ ⇒ س ≤ −٤ | ينعكس |
| ضرب في سالب | −س < ٣ ⇒ س > −٣ | ينعكس |
| تبديل الطرفين | ٥ > س ⇒ س < ٥ | ينعكس (لأنك قرأته من الجهة الأخرى) |
| أصغر عدد صحيح يحقق س > ٢٫٥ | ٣ | > لا تشمل ٢٫٥ |
ستتعلم قوانين الأسس والجذور التي تختصر الحساب: متى تُجمع الأسس؟ ومتى تُطرح؟ ومتى تُضرب؟ الخلط بين هذه الثلاثة هو ما تُبنى عليه الخيارات الخاطئة.
القوة ضرب متكرر: ٢³ = ٢ × ٢ × ٢ = ٨؛ الأساس ٢ والأس ٣. والجذر التربيعي عكس التربيع: √٢٥ = ٥ لأن ٥² = ٢٥.
قوانين الأسس ثلاثة يُخلط بينها: الضرب بنفس الأساس يجمع الأسس، القسمة تطرحها، قوة القوة تضربها.
اجمع أم اطرح أم اضرب؟
| الصورة | القانون | مثال |
|---|---|---|
| ضرب بنفس الأساس | اجمع الأسس | ٢³ × ٢² = ٢⁵ = ٣٢ |
| قسمة بنفس الأساس | اطرح الأسس | ٢⁵ ÷ ٢² = ٢³ = ٨ |
| قوة مرفوعة لقوة | اضرب الأسس | (٢²)³ = ٢⁶ = ٦٤ |
| ضرب بنفس الأس وأساسين مختلفين | اضرب الأساسين | ٢³ × ٥³ = ١٠³ = ١٠٠٠ |
| جمع قوى | لا قانون؛ احسب كلًّا | ٢³ + ٢³ = ٨ + ٨ = ١٦ = ٢⁴ |
| جذر مجموع | لا يُوزّع | √(٩ + ١٦) = ٥، وليس ٣ + ٤ |
ستتعلم كيف تكتشف نمط المتتالية وتكملها، وكيف تقفز مباشرة إلى حد بعيد (الحد العاشر أو العشرين) دون أن تكتب كل الحدود.
المتتالية أعداد مرتبة وفق نمط ثابت. الحسابية: فرق ثابت يُضاف (٣، ٧، ١١، ١٥ ⇒ الأساس ٤). الهندسية: نسبة ثابتة تُضرب (٢، ٦، ١٨، ٥٤ ⇒ الأساس ٣).
المهارة الثانية: القفز إلى حد بعيد دون كتابة كل الحدود، بقانون الحد النوني.
التعرف على النمط:
| المتتالية | النوع | الحد التالي |
|---|---|---|
| ٤، ٩، ١٤، ١٩ | حسابية +٥ | ٢٤ |
| ٨٠، ٤٠، ٢٠، ١٠ | هندسية ×½ | ٥ |
| ٢، ٣، ٥، ٨، ١٢ | فروق متزايدة ١، ٢، ٣، ٤ | ١٧ |
| ١، ٤، ٩، ١٦، ٢٥ | مربعات | ٣٦ |
| ٢، ٥، ١١، ٢٣ | ×٢ + ١ | ٤٧ |
| ١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨ | كل حد مجموع السابقين | ١٣ |
ستتعلم مسائل الأعمار، وهي مسائل لفظية لها سر واحد: حين يمر الزمن يكبر الجميع بالمقدار نفسه. من أضاف السنوات إلى شخص ونسي الآخر وقع في أشهر أخطائها.
مسائل الأعمار مسائل لفظية تُحوَّل إلى معادلة. سرّها الوحيد: الزمن يمرّ على الجميع بالتساوي؛ بعد ٥ سنوات يكبر كل شخص ٥ سنوات، وقبل ٣ سنوات كان كلٌّ أصغر بـ٣.
ومنه: الفرق بين عمرين ثابت لا يتغير أبدًا، أما النسبة بينهما فتتغير مع الزمن.
ترجمة عبارات الأعمار:
| العبارة | الرمز | ملاحظة |
|---|---|---|
| عمر أحمد ثلاثة أمثال عمر سعد | أ = ٣س | سعد س |
| يكبره بـ ١٢ سنة | أ = س + ١٢ | الفرق ثابت |
| بعد ٤ سنوات يصبح ضعفه | أ + ٤ = ٢(س + ٤) | أضف ٤ للاثنين |
| قبل ٣ سنوات كان ٤ أمثاله | أ − ٣ = ٤(س − ٣) | اطرح ٣ من الاثنين |
| مجموع عمريهما ٤٠ | أ + س = ٤٠ | بعد ن سنوات يزيد المجموع ٢ن |
| نسبة عمريهما ٢ : ٣ | أ = ٢ك، ب = ٣ك | استخدم معامل النسبة |
ستتعلم تبسيط المقادير الجبرية: جمع الحدود المتشابهة، وفك الأقواس. وأخطر ما فيه إشارة السالب قبل القوس، لأنها تقلب إشارات كل ما بداخله.
المقدار الجبري تعبير فيه أعداد ومجاهيل: ٣س² − ٢س + ٥. الحد جزء منفصل بإشارة (٣س²، −٢س، ٥)، والحدود المتشابهة ما اتفقت في المجهول وأسّه (٣س و٥س، لا ٣س و٣س²).
التبسيط عمليتان: فك الأقواس (التوزيع، مع الانتباه للسالب) ثم جمع الحدود المتشابهة.
الإشارة قبل القوس:
| المقدار | التبسيط الصحيح | الخطأ المتوقع |
|---|---|---|
| ٣ + (٢س − ٤) | ٢س − ١ | — |
| ٣ − (٢س − ٤) | −٢س + ٧ | −٢س − ١ (لم يقلب −٤) |
| ٢(س + ٣) − (س − ١) | س + ٧ | س + ٥ |
| −٣(س − ٢) | −٣س + ٦ | −٣س − ٦ |
| (س + ٣)² | س² + ٦س + ٩ | س² + ٩ |
| ٤س − (س + س) | ٢س | ٤س |
ستتعلم تحويل المسألة اللفظية إلى معادلة. الصعوبة ليست في الحل بل في الترجمة: كل عبارة لها مقابل رمزي، ومن أتقن هذا القاموس الصغير حلّ أغلب مسائل هذا النوع.
المسألة اللفظية نص يصف علاقة بين أعداد مجهولة؛ وحلّها يبدأ بـالترجمة: كل عبارة لغوية لها مقابل رمزي، ثم تُحل المعادلة الناتجة.
القاموس صغير: «يزيد عن» (+)، «يقل عن» (−)، «أمثال/ضعف» (×)، «نصف/ثلث» (÷)، «يساوي/يصبح/هو» (=)، «مجموع» (+)، «الفرق» (−).
قاموس الترجمة:
| العبارة | الرمز | مثال |
|---|---|---|
| يزيد عن س بـ ٧ | س + ٧ | ضعف الحد |
| يقل عن س بـ ٧ | س − ٧ | — |
| ثلاثة أمثال س | ٣س | «أمثال» ضرب |
| نصف س / ثلث س | س/٢ ، س/٣ | «جزء» قسمة |
| يزيد عن ضعف س بـ ٣ | ٢س + ٣ | اضرب ثم أضف |
| ضعف (س + ٣) | ٢(س + ٣) | القوس للمجموع |
| عددان متتاليان | س ، س + ١ | زوجيان: س، س + ٢ |
| مجموعهما / الفرق بينهما | أ + ب / أ − ب | الفرق موجب |