مسائل رياضية أساسية لا تتجاوز مستوى المرحلة المتوسطة، لكن الفرق بين الطلاب هو السرعة وتجنّب فخاخ الصياغة. الأرقام غالبًا مصممة للحساب الذهني أو بخطوتين — إذا وجدت نفسك أمام عملية حسابية طويلة، فغالبًا فاتك طريق أقصر.
ستتعلم بأي عملية تبدأ حين تجتمع عدة عمليات في مسألة واحدة. من يحسب من اليمين إلى اليسار دون ترتيب يخرج بجواب موجود فعلًا بين الخيارات، لأن واضع السؤال يتوقع هذا الخطأ.
ترتيب العمليات هو الاتفاق الذي يحدد أي عملية تُنفَّذ أولًا حين تجتمع عدة عمليات في مسألة واحدة. الترتيب ثابت لا يتغير: الأقواس ← الأسس والجذور ← الضرب والقسمة ← الجمع والطرح.
الضرب والقسمة في مرتبة واحدة، والجمع والطرح في مرتبة واحدة؛ وعند التساوي في المرتبة تُنفَّذ العمليات بترتيب ورودها (من البداية إلى النهاية).
المسألة نفسها بترتيب صحيح وترتيب خاطئ:
| المسألة | الحساب الصحيح | الخطأ المتوقع |
|---|---|---|
| ٥ + ٣ × ٤ | ٥ + ١٢ = ١٧ | ٨ × ٤ = ٣٢ |
| (٥ + ٣) × ٤ | ٨ × ٤ = ٣٢ | ٥ + ١٢ = ١٧ |
| ١٢ ÷ ٣ × ٢ | ٤ × ٢ = ٨ | ١٢ ÷ ٦ = ٢ |
| ٢ × ٣² | ٢ × ٩ = ١٨ | ٦² = ٣٦ |
| (٢ × ٣)² | ٦² = ٣٦ | ٢ × ٩ = ١٨ |
| ١٠ − ٤ + ٣ | ٦ + ٣ = ٩ | ١٠ − ٧ = ٣ |
| ٢٠ − ٢ × (٣ + ٢) | ٢٠ − ٢ × ٥ = ١٠ | ١٨ × ٥ = ٩٠ |
ستتعلم العمليات على الكسور، وكيف تجد جزءًا من عدد (ثلثا المبلغ، ربع الباقي). أكثر ما يُخطأ فيه هنا مسائل «الباقي»: حين يُؤخذ كسر من المبلغ ثم كسر آخر من الباقي لا من الأصل.
الكسر جزء من واحد صحيح: البسط عدد الأجزاء المأخوذة، والمقام عدد الأجزاء التي قُسم إليها الكل. وجزء من عدد يعني: اضرب الكسر في العدد (ثلثا ٦٠ = ⅔ × ٦٠ = ٤٠).
أهم تمييز في هذا الدرس: «من الأصل» أم «من الباقي»؟ الكسر الثاني في مسائل الإنفاق يؤخذ من الباقي ما لم يُقل غير ذلك.
الفرق بين «من الأصل» و«من الباقي» (مبلغ ١٢٠، أنفق ثلثه ثم ربعًا):
| الصياغة | الحساب | الباقي |
|---|---|---|
| أنفق ⅓ ثم ربع الباقي | ٤٠ ثم ¼ × ٨٠ = ٢٠ | ٦٠ |
| أنفق ⅓ ثم ربع المبلغ | ٤٠ ثم ¼ × ١٢٠ = ٣٠ | ٥٠ |
| أنفق ⅓ وربعًا معًا (من الأصل) | (⅓ + ¼) × ١٢٠ = ٧٠ | ٥٠ |
| بقي له ⅓ المبلغ | الباقي = ⅓ × ١٢٠ | ٤٠ |
| أنفق ⅓ وبقي ٨٠ (المطلوب الأصل) | ⅔ من الأصل = ٨٠ ⇒ الأصل = ٨٠ ÷ ⅔ | الأصل ١٢٠ |
| ضعف الثلث | ٢ × ⅓ = ⅔ | ليس ⅓ من ⅓ |
ستتعلم مسائل الخصم والزيادة والربح. وأهم ما فيها أن تعرف: هل المطلوب السعر الجديد (فتسير إلى الأمام) أم السعر الأصلي (فترجع إلى الخلف)؟ الرجوع إلى الخلف هو موضع أكثر الأخطاء.
النسبة المئوية كسر مقامه ١٠٠: ٣٠٪ = ٣٠/١٠٠ = ٠٫٣. و«٣٠٪ من ٢٥٠» = ٠٫٣ × ٢٥٠ = ٧٥.
مسائل الخصم والزيادة تُحل بـالمعامل: خصم ٢٠٪ ⇒ المعامل ٠٫٨، زيادة ١٥٪ ⇒ المعامل ١٫١٥. إلى الأمام اضرب، وإلى الخلف اقسم.
الاتجاه يحدد العملية (خصم ٢٠٪):
| المعطى | المطلوب | العملية |
|---|---|---|
| الأصلي ٣٠٠ | السعر بعد الخصم | ٣٠٠ × ٠٫٨ = ٢٤٠ |
| بعد الخصم ٢٤٠ | الأصلي | ٢٤٠ ÷ ٠٫٨ = ٣٠٠ |
| الأصلي ٣٠٠ | قيمة الخصم | ٣٠٠ × ٠٫٢ = ٦٠ |
| قيمة الخصم ٦٠ | الأصلي | ٦٠ ÷ ٠٫٢ = ٣٠٠ |
| خصمان ٢٠٪ ثم ١٠٪ | الخصم الكلي | ١ − ٠٫٨ × ٠٫٩ = ٢٨٪ |
| زيادة ١٠٪ ثم خصم ١٠٪ | النتيجة | ١٫١ × ٠٫٩ = ٠٫٩٩ ⇒ نقص ١٪ |
ستتعلم نوعين: تقسيم كمية بنسبة (وزّع ٤٥٠ بنسبة ٤ : ٥)، والتناسب بنوعيه: الطردي (كلما زاد هذا زاد ذاك) والعكسي (كلما زاد هذا نقص ذاك). والخطأ الأشهر معاملة العكسي كأنه طردي.
النسبة مقارنة بين كميتين بالقسمة: ٤ : ٥ تعني أن كل ٤ من الأولى يقابلها ٥ من الثانية. والتقسيم بنسبة يعني توزيع كمية على أجزاء النسبة: ٤٥٠ بنسبة ٤ : ٥ ⇒ ٩ أجزاء، الجزء = ٥٠.
التناسب الطردي: الكميتان تزيدان معًا (الكمية والثمن). التناسب العكسي: إحداهما تزيد والأخرى تنقص (عدد العمال والزمن)، وفيه حاصل الضرب ثابت.
طردي أم عكسي؟
| الكميتان | النوع | الثابت |
|---|---|---|
| عدد الكتب وثمنها | طردي | الثمن ÷ العدد |
| المسافة والوقود | طردي | الوقود ÷ المسافة |
| عدد العمال وزمن إنجاز العمل | عكسي | العمال × الزمن |
| السرعة والزمن لمسافة ثابتة | عكسي | السرعة × الزمن |
| عدد الأشخاص ونصيب الفرد من مبلغ ثابت | عكسي | العدد × النصيب |
| ساعات العمل والأجر | طردي | الأجر ÷ الساعات |
ستتعلم العلاقة بين المسافة والسرعة والزمن، ومسائلها الثلاث المشهورة: إيجاد أحد الثلاثة، ومتوسط السرعة في رحلة من جزأين، وجسمان يتحركان (متقابلان أو في اتجاه واحد).
السرعة هي المسافة المقطوعة في وحدة الزمن: السرعة = المسافة ÷ الزمن. ومنها: المسافة = السرعة × الزمن، والزمن = المسافة ÷ السرعة.
متوسط السرعة لرحلة كاملة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي، وليس متوسط السرعتين. والجسمان المتحركان: متقابلان ⇒ تُجمع سرعتاهما، في اتجاه واحد ⇒ تُطرح.
المسائل الثلاث المشهورة:
| الصورة | القانون | مثال |
|---|---|---|
| أحد الثلاثة مجهول | م = س × ز | س = ٨٠، ز = ٢٫٥ ⇒ م = ٢٠٠ |
| متوسط السرعة (جزآن) | الكل ÷ الكل | ٦٠ و٣٠ لمسافتين متساويتين ⇒ ٤٠ |
| متقابلان | م ÷ (س١ + س٢) | ٣٠٠ ÷ ١٥٠ = ٢ س |
| لحاق في اتجاه واحد | الفرق ÷ (س١ − س٢) | ٤٠ ÷ ٢٠ = ٢ س |
| تحويل الوحدات | كم/س ÷ ٣٫٦ = م/ث | ٧٢ كم/س = ٢٠ م/ث |
| زمن متأخر بنفس المسافة | م ثابتة ⇒ س × ز ثابت | سرعة أقل ⇒ زمن أطول بالنسبة نفسها |
ستتعلم مسائل العمل المشترك: عاملان أو صنبوران يعملان معًا، وقد يكون معهما مصرف يفرّغ. الفكرة الوحيدة التي تحتاجها: حوّل «ينجز العمل في كذا ساعة» إلى «ينجز كذا من العمل في الساعة».
معدل العمل هو الجزء المنجز من العمل في وحدة الزمن. من ينجز العمل كله في ٦ ساعات ينجز ⅙ العمل في الساعة. هذه هي الفكرة الوحيدة في الدرس.
حين يعمل اثنان معًا تُجمع المعدلات، وزمن الإنجاز معًا = ١ ÷ مجموع المعدلات. والمصرف (أو العامل المعطّل) معدله سالب يُطرح.
صور السؤال وطريقة كل صورة:
| الصورة | الطريقة | مثال |
|---|---|---|
| اثنان معًا من البداية للنهاية | ١ ÷ (١/أ + ١/ب) | ٦ و٣ ⇒ ساعتان |
| صنبور ومصرف | ١ ÷ (١/أ − ١/ب) | ٤ و١٢ ⇒ ٦ ساعات |
| عمل أحدهما مدة ثم أكمل الآخر | المنجز = معدل × زمن، ثم الباقي ÷ معدل الثاني | أنجز ⅓، يبقى ⅔ ÷ ⅓ = ساعتان |
| المطلوب زمن أحدهما وحده | ١/ب = المعدل المشترك − ١/أ | ½ − ⅙ = ⅓ ⇒ ٣ ساعات |
| ثلاثة عمال | اجمع المعدلات الثلاثة | ⅙ + ⅙ + ⅓ = ⅔ ⇒ ١٫٥ ساعة |
| عمال متماثلون | عكسي: العمال × الزمن ثابت | ٤ عمال ٦ أيام ⇒ ٨ عمال ٣ أيام |
ستتعلم الفائدة البسيطة: مبلغ ثابت يُضاف كل سنة، محسوب على رأس المال الأصلي فقط. القانون واحد، ومنه تستخرج أي مجهول من الأربعة: الفائدة أو المبلغ أو المعدل أو المدة.
الفائدة البسيطة مبلغ ثابت يُضاف كل مدة، محسوب على رأس المال الأصلي فقط: الفائدة = رأس المال × المعدل × المدة. والجملة (المبلغ النهائي) = رأس المال + الفائدة.
القانون واحد وفيه أربعة مقادير؛ يُعطى ثلاثة ويُطلب الرابع. والمدة بالسنوات والمعدل سنوي ما لم يُذكر غير ذلك.
أي المجهولات مطلوب؟ (م = ٤٠٠٠، ع = ٦٪، ن = ٢ ⇒ ف = ٤٨٠):
| المطلوب | القانون | الحساب |
|---|---|---|
| الفائدة | م × ع × ن | ٤٠٠٠ × ٠٫٠٦ × ٢ = ٤٨٠ |
| الجملة | م + ف | ٤٠٠٠ + ٤٨٠ = ٤٤٨٠ |
| رأس المال | ف ÷ (ع × ن) | ٤٨٠ ÷ ٠٫١٢ = ٤٠٠٠ |
| المعدل | ف ÷ (م × ن) | ٤٨٠ ÷ ٨٠٠٠ = ٦٪ |
| المدة | ف ÷ (م × ع) | ٤٨٠ ÷ ٢٤٠ = ٢ سنة |
| مدة تضاعف المبلغ | ع × ن = ١ | ٦٪ ⇒ ن = ١ ÷ ٠٫٠٦ ≈ ١٦٫٧ سنة |