مسائل تتعلق بتلخيص البيانات (متوسط، وسيط، منوال)، احتمال وقوع حدث، أو قراءة معلومات من جدول أو رسم بياني. أصغر مهارة بالقسم الكمي من ناحية عدد الأسئلة، لكنها غالبًا الأسرع حلًا إذا أتقنت القوانين الأساسية.
ستتعلم المتوسط الحسابي، والأهم من حسابه أن تفهم علاقته بالمجموع: المجموع = المتوسط × العدد. بهذه العلاقة وحدها تُحل أسئلة «القيمة الناقصة» و«الدرجة المطلوبة» التي يحبها الاختبار.
المتوسط الحسابي = مجموع القيم ÷ عددها. والأهم للاختبار علاقته المعكوسة: المجموع = المتوسط × العدد؛ بها تُحل أسئلة القيمة الناقصة والدرجة المطلوبة.
فكّر بالمتوسط على أنه «لو وُزّعت القيم بالتساوي، نصيب كل واحد».
صور السؤال:
| الصورة | الخطوة الأساسية | مثال |
|---|---|---|
| احسب المتوسط | المجموع ÷ العدد | (٤ + ٦ + ١١) ÷ ٣ = ٧ |
| قيمة ناقصة | المجموع − المعلوم | ٦٠ − ٤٢ = ١٨ |
| الدرجة لتحقيق متوسط مطلوب | الجديد − القديم | ٣٠٠ − ٢١٠ = ٩٠ |
| دمج مجموعتين | (مج١ + مج٢) ÷ (ن١ + ن٢) | لا تأخذ متوسط المتوسطين |
| حذف قيمة | (المجموع − القيمة) ÷ (ن − ١) | متوسط ٥ قيم ١٠، حُذف ٢٠ ⇒ ٣٠ ÷ ٤ = ٧٫٥ |
| متوسط أعداد متتالية | الأوسط (أو متوسط الطرفين) | ٣ إلى ٩: المتوسط ٦ |
ستتعلم مقياسين آخرين غير المتوسط: الوسيط (القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها) والمنوال (القيمة الأكثر تكرارًا). والاختبار يضع الثلاثة معًا في الخيارات ليرى هل تميّز بينها.
الوسيط القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديًا؛ إن كان العدد زوجيًا فالوسيط متوسط القيمتين الوسطيتين. المنوال القيمة الأكثر تكرارًا، وقد يكون أكثر من منوال أو لا منوال.
المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة. والاختبار يضع المتوسط والوسيط والمنوال معًا في الخيارات ليرى هل تميّز بينها.
المقاييس الأربعة للبيانات ٤، ٨، ٨، ٩، ١١:
| المقياس | الطريقة | القيمة |
|---|---|---|
| المتوسط | المجموع ÷ العدد | ٤٠ ÷ ٥ = ٨ |
| الوسيط | الأوسط بعد الترتيب | ٨ (الثالث) |
| المنوال | الأكثر تكرارًا | ٨ |
| المدى | الأكبر − الأصغر | ١١ − ٤ = ٧ |
| لو أضيف ٣٠ | الوسيط يصبح (٨ + ٩) ÷ ٢ | ٨٫٥، والمتوسط يقفز إلى ١١٫٧ |
| لو أضيف ٨ | المنوال | يبقى ٨ ويزداد تكراره |
ستتعلم حساب احتمال وقوع حدث في تجربة بسيطة: سحب كرة، أو رمي نرد، أو قطعة نقد. القانون واحد، والمهارة في عدّ الحالات بدقة، وفي الانتباه لكلمة «ليس».
الاحتمال = عدد الحالات المطلوبة ÷ عدد الحالات الممكنة. قيمته بين ٠ (مستحيل) و١ (مؤكد)، ويُكتب كسرًا أو نسبة أو عددًا عشريًا.
المهارة الحقيقية: عدّ الحالات بدقة (كم كرة؟ كم وجهًا للنرد؟)، والانتباه إلى «ليس» (المتمم) و«أو» (الجمع) و«و» (الضرب).
عدّ الحالات في التجارب الشائعة:
| التجربة | الممكن | مثال |
|---|---|---|
| رمي نرد | ٦ | ح(زوجي) = ٣/٦ = ½ |
| رمي قطعة نقد | ٢ | ح(كتابة) = ½ |
| قطعتا نقد | ٤ (ص ص، ص ك، ك ص، ك ك) | ح(صورة واحدة فقط) = ٢/٤ = ½ |
| نردان | ٣٦ | ح(المجموع ٧) = ٦/٣٦ = ⅙ |
| سحب كرة من كيس | عدد الكرات كلها | ٤ ح + ٦ ز ⇒ ح(ز) = ٦/١٠ |
| اختيار رقم من ١ إلى ٢٠ | ٢٠ | ح(مضاعف ٥) = ٤/٢٠ = ⅕ |
ستتعلم كيف تقرأ الجدول والرسم البياني وتستخرج منهما جوابًا محسوبًا: مجموعًا أو متوسطًا أو فرقًا أو نسبة. القراءة نفسها سهلة؛ والخطأ يقع حين تُقرأ قيمة العمود الخطأ أو يُجاب عن غير المطلوب.
الجدول والرسم البياني (أعمدة، خط، قطاعات دائرية) طرق لعرض بيانات؛ والسؤال عنهما يطلب قراءة قيمة ثم عملية عليها: مجموع، فرق، متوسط، نسبة، أو أعلى/أدنى.
القراءة سهلة، والفخ في: العمود الخطأ، الوحدة المكتوبة أعلى الجدول (بالآلاف)، ومفتاح الرسم (أي لون لأي فئة).
ما الذي يُسأل عنه؟
| السؤال | العملية | مثال |
|---|---|---|
| ما قيمة …؟ | قراءة مباشرة | تقاطع صف وعمود |
| مجموع … خلال … | جمع | ٣ أشهر ⇒ ٣ قيم |
| الفرق بين … و… | طرح | الأكبر − الأصغر |
| متوسط … في … | المجموع ÷ العدد | ٤ فروع ⇒ ÷ ٤ |
| نسبة … إلى الكل | الجزء ÷ الكل | ٢٠٠ ÷ ٨٠٠ = ٢٥٪ |
| أكبر زيادة / أكبر انخفاض | فروق متتالية | قارن الفروق لا القيم |
| زاوية القطاع | النسبة × ٣٦٠ | ٢٥٪ ⇒ ٩٠° |
ستتعلم حساب نسبة التغيّر (كم بالمئة زاد أو نقص؟)، وهي من أكثر ما يُسأل عنه مع الجداول. مفتاحها سؤال واحد: على ماذا أقسم؟ والجواب دائمًا: على القيمة الأصلية (القديمة).
نسبة التغيّر تقيس كم زادت القيمة أو نقصت بالنسبة إلى قيمتها الأصلية (القديمة): نسبة التغيّر = (الجديد − القديم) ÷ القديم × ١٠٠٪.
المفتاح كله في المقام: على ماذا أقسم؟ على القديم دائمًا. ومن ٨٠ إلى ١٠٠ زيادة ٢٥٪، لكن من ١٠٠ إلى ٨٠ نقصان ٢٠٪.
اختر المقام الصحيح:
| الحالة | الحساب | النتيجة |
|---|---|---|
| من ٨٠ إلى ١٠٠ | ٢٠ ÷ ٨٠ | زيادة ٢٥٪ |
| من ١٠٠ إلى ٨٠ | ٢٠ ÷ ١٠٠ | نقصان ٢٠٪ |
| من ٥٠ إلى ١٠٠ | ٥٠ ÷ ٥٠ | زيادة ١٠٠٪ (تضاعف) |
| من ١٠٠ إلى ٥٠ | ٥٠ ÷ ١٠٠ | نقصان ٥٠٪ |
| القديم مجهول: صار ١٢٠ بعد زيادة ٢٠٪ | ١٢٠ ÷ ١٫٢ | القديم ١٠٠ |
| زيادة ٢٠٪ ثم نقصان ٢٠٪ | ١٫٢ × ٠٫٨ | نقصان ٤٪ صافٍ |