رياضيات التحصيلي تغطي منهج المرحلة الثانوية: حل المعادلات والمتباينات وتحليل المقادير، قوانين المساحة والحجم وفيثاغورس، الدوال والميل، النسب المثلثية، ومقاييس النزعة المركزية والاحتمال، إضافة إلى موضوعات الصفين الثاني والثالث الثانوي: الدوال الأسية واللوغاريتمية، المصفوفات، المتتابعات، كثيرات الحدود والدوال النسبية، القطوع المخروطية، المتجهات والأعداد المركبة، والنهايات والاشتقاق.
ستتعلم حل المعادلات والمتباينات وتبسيط المقادير الجبرية وتحليلها. الفكرة المحورية: المعادلة ميزان — ما تفعله في طرف تفعله في الآخر.
المعادلة مساواة بين طرفين فيها مجهول، وحلها القيمة التي تحقق المساواة. المتباينة مقارنة (<، >، ≤، ≥) وحلها مجموعة قيم لا قيمة واحدة. والتحليل كتابة المقدار حاصل ضرب عوامل.
القاعدة الحاكمة: ما تفعله في طرف تفعله في الآخر. والفرق الجوهري بين المعادلة والمتباينة: في المتباينة تنعكس الإشارة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
أي نوع من المعادلات أمامك؟
| الصورة | النوع | الأداة |
|---|---|---|
| أس + ب = جـ | خطية | عمليات عكسية |
| أس² + ب س + جـ = ٠ | تربيعية | تحليل أو القانون العام |
| أس + ب > جـ | متباينة | كالمعادلة مع قلب الإشارة عند السالب |
| |س − أ| = ب | قيمة مطلقة | حلان: س − أ = ب أو س − أ = −ب |
| معادلتان بمجهولين | نظام | حذف أو تعويض |
| س/أ = ب/جـ | تناسب | الضرب التبادلي |
ستتعلم قوانين المحيط والمساحة والحجم ونظرية فيثاغورس. الفكرة المحورية: ارسم الشكل وسجّل المعطيات عليه قبل التعويض في أي قانون.
المحيط طول الحد الخارجي (وحدة طولية)، والمساحة ما يغطيه الشكل (وحدة مربعة)، والحجم ما يشغله المجسم (وحدة مكعبة). ونظرية فيثاغورس: في المثلث القائم الوتر² = مجموع مربعي الضلعين.
التمييز الذي يُبنى عليه السؤال: الارتفاع عمودي على القاعدة لا الضلع المائل، ونصف القطر لا القطر في قوانين الدائرة، والحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع لكل منشور وأسطوانة.
محيط أم مساحة أم حجم؟
| السؤال يذكر | المطلوب | الوحدة |
|---|---|---|
| سور، شريط، إطار، طول سلك | محيط | سم، م |
| بلاط، طلاء، زرع، ورق تغليف | مساحة | سم²، م² |
| يتسع، يملأ، سعة، لتر | حجم | سم³، م³، لتر |
| مثلث قائم وضلعان | الضلع الثالث | فيثاغورس |
| مثلث متساوي الأضلاع ضلعه ل | المساحة | (√٣ ÷ ٤) ل² |
| ممر حول حديقة | فرق مساحتين | الخارجي − الداخلي |
ستتعلم مفهوم الدالة ومجالها ومداها وتمثيلها بيانيًا وإيجاد ميل المستقيم. الفكرة المحورية: الدالة علاقة تعطي لكل مدخل مخرجًا واحدًا فقط.
الدالة علاقة تعطي لكل مدخل (س) مخرجًا واحدًا فقط (ص). المجال مجموعة قيم س المسموحة، والمدى مجموعة قيم ص الناتجة. ود(٤) تعني عوّض س = ٤.
اختبار الخط الرأسي: إن قطع خط رأسي المنحنى في أكثر من نقطة فليس دالة. وميل المستقيم = التغيّر في ص ÷ التغيّر في س، يقيس الانحدار واتجاهه.
دالة أم لا؟ وما الميل؟
| الحالة | الحكم | السبب |
|---|---|---|
| لكل س قيمة ص واحدة | دالة | التعريف |
| {(١، ٢)، (١، ٣)} | ليست دالة | المدخل ١ له مخرجان |
| {(١، ٢)، (٢، ٢)} | دالة | تكرار المخرج مسموح |
| دائرة س² + ص² = ٩ | ليست دالة | خط رأسي يقطعها مرتين |
| خط أفقي ص = ٣ | دالة، الميل صفر | ص ثابت |
| خط رأسي س = ٣ | ليست دالة، الميل غير معرّف | س واحد وص متعددة |
ستتعلم النسب المثلثية وتطبيقاتها في المثلث القائم. الفكرة المحورية: جا = المقابل ÷ الوتر، جتا = المجاور ÷ الوتر، ظا = المقابل ÷ المجاور.
النسب المثلثية في المثلث القائم: جا = المقابل ÷ الوتر، جتا = المجاور ÷ الوتر، ظا = المقابل ÷ المجاور. وكلمة التذكير: «جا مقابل وتر، جتا مجاور وتر، ظا مقابل مجاور».
المقابل والمجاور يتحددان بالنسبة للزاوية المسؤول عنها، أما الوتر فثابت (أطول ضلع). والمتطابقة الأساس: جا² هـ + جتا² هـ = ١.
جدول الزوايا الخاصة:
| الزاوية | جا / جتا | ظا |
|---|---|---|
| ٠° | ٠ / ١ | ٠ |
| ٣٠° | ½ / √٣⁄٢ | √٣⁄٣ |
| ٤٥° | √٢⁄٢ / √٢⁄٢ | ١ |
| ٦٠° | √٣⁄٢ / ½ | √٣ |
| ٩٠° | ١ / ٠ | غير معرّفة |
| ١٨٠° | ٠ / −١ | ٠ |
ستتعلم حساب المتوسط والوسيط والمنوال والاحتمالات البسيطة. الفكرة المحورية: الاحتمال = عدد الحالات المواتية ÷ عدد الحالات الكلية.
المتوسط = المجموع ÷ العدد، والوسيط القيمة الوسطى بعد الترتيب، والمنوال الأكثر تكرارًا، والمدى = الأكبر − الأصغر. والاحتمال = عدد الحالات المواتية ÷ عدد الحالات الكلية، بين ٠ و١.
التمييز: الوسيط يحتاج ترتيبًا أولًا، والمتوسط يتأثر بالقيم المتطرفة والوسيط لا. وفي الاحتمال: «و» للمستقلين ضرب، «أو» للمتنافيين جمع.
المقاييس الأربعة للبيانات ٢، ٤، ٤، ٧، ١٣:
| المقياس | الطريقة | القيمة |
|---|---|---|
| المتوسط | المجموع ÷ العدد | ٣٠ ÷ ٥ = ٦ |
| الوسيط | الأوسط بعد الترتيب | ٤ |
| المنوال | الأكثر تكرارًا | ٤ |
| المدى | الأكبر − الأصغر | ١١ |
| التباين | متوسط مربعات الانحرافات | (١٦ + ٤ + ٤ + ١ + ٤٩) ÷ ٥ = ١٤٫٨ |
| الانحراف المعياري | √التباين | ≈ ٣٫٨٥ |
ستتعلم التعامل مع الدوال الأسية واللوغاريتمية وحل معادلاتها. الفكرة المحورية: اللوغاريتم هو الأس — لو ص للأساس ب = س تعني تمامًا أن ب^س = ص.
الدالة الأسية ص = ب^س (ب > ٠، ب ≠ ١) المتغير فيها في الأس. واللوغاريتم عكسها: لو_ب ص = س تعني تمامًا ب^س = ص؛ أي أن اللوغاريتم هو الأس الذي نرفع له الأساس.
التمييز: لو بلا أساس يعني الأساس ١٠، ولن يعني الأساس e ≈ ٢٫٧١٨. ومجال اللوغاريتم الأعداد الموجبة فقط، ولو_ب ١ = ٠ ولو_ب ب = ١.
من الصيغة الأسية إلى اللوغاريتمية والعكس:
| الصيغة الأسية | الصيغة اللوغاريتمية | القيمة |
|---|---|---|
| ٢³ = ٨ | لو_٢ ٨ = ٣ | ٣ |
| ١٠² = ١٠٠ | لو ١٠٠ = ٢ | ٢ |
| ٥⁰ = ١ | لو_٥ ١ = ٠ | ٠ |
| ٣^(−٢) = ١/٩ | لو_٣ (١/٩) = −٢ | −٢ |
| ٩^(½) = ٣ | لو_٩ ٣ = ½ | ½ |
| e^١ = e | لن e = ١ | ١ |
ستتعلم العمليات على المصفوفات وحساب المحددات. الفكرة المحورية: الرتبة = عدد الصفوف × عدد الأعمدة، ومحددة المصفوفة ذات الصفين (أ، ب) و(جـ، د) تساوي أد − ب جـ.
المصفوفة ترتيب للأعداد في صفوف وأعمدة، ورتبتها = عدد الصفوف × عدد الأعمدة. والمحدد عدد يُحسب للمصفوفة المربعة، وهو يقرر إن كان لها نظير ضربي (معكوس).
التمييز الجوهري: الجمع يحتاج رتبتين متساويتين ويتم عنصرًا بعنصر، أما الضرب فيحتاج تساوي أعمدة الأولى مع صفوف الثانية، وهو غير إبدالي.
متى تجوز العملية؟
| العملية | الشرط | رتبة الناتج |
|---|---|---|
| أ + ب | رتبة أ = رتبة ب | الرتبة نفسها |
| ك × أ (عدد) | دائمًا | رتبة أ |
| أ × ب | أعمدة أ = صفوف ب | صفوف أ × أعمدة ب |
| أ × ب مع أ (٢×٣) وب (٢×٣) | غير ممكن | ٣ ≠ ٢ |
| المحدد | مربعة فقط | عدد |
| النظير أ⁻¹ | مربعة ومحددها ≠ ٠ | رتبة أ |
ستتعلم تمييز المتتابعات الحسابية والهندسية وإيجاد حدودها ومجاميعها. الفكرة المحورية: الحسابية تزيد بمقدار ثابت (تُجمع)، والهندسية تتضاعف بنسبة ثابتة (تُضرب).
المتتابعة الحسابية كل حد = السابق + أساس ثابت د (تُجمع)، والهندسية كل حد = السابق × أساس ثابت ر (تُضرب). والمتسلسلة مجموع حدود المتتابعة.
التمييز: اطرح حدين متتاليين؛ إن كان الفرق ثابتًا فحسابية، وإلا اقسمهما؛ إن كانت النسبة ثابتة فهندسية. والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لها مجموع فقط إذا كان |ر| < ١.
حسابية أم هندسية؟
| المتتابعة | النوع | الأساس |
|---|---|---|
| ٣، ٧، ١١، ١٥ | حسابية | د = ٤ |
| ٣، ٦، ١٢، ٢٤ | هندسية | ر = ٢ |
| ١٠، ٧، ٤، ١ | حسابية | د = −٣ |
| ٨١، ٢٧، ٩، ٣ | هندسية | ر = ⅓ |
| ٥، −٥، ٥، −٥ | هندسية | ر = −١ |
| ١، ٤، ٩، ١٦ | لا هذه ولا تلك | مربعات: حₙ = ن² |
ستتعلم تحليل كثيرات الحدود وإيجاد أصفارها، والتعامل مع الدوال النسبية والجذرية. الفكرة المحورية: باقي قسمة د(س) على (س − أ) يساوي د(أ)، فإن كان صفرًا فإن (س − أ) عامل.
كثيرة الحدود مجموع حدود من الصورة أ سⁿ بأسس صحيحة غير سالبة، ودرجتها أكبر أس. الصفر قيمة س التي تجعل د(س) = ٠، وهو المقطع السيني للمنحنى.
نظرية الباقي: باقي قسمة د(س) على (س − أ) = د(أ). ونظرية العوامل: إن كان د(أ) = ٠ فإن (س − أ) عامل. والدالة النسبية كسر مقامه ≠ ٠، والجذرية ما تحت جذرها الزوجي ≥ ٠.
ماذا تطلب الصيغة؟
| السؤال | الأداة | مثال |
|---|---|---|
| باقي القسمة على (س − أ) | عوّض أ | د(٢) |
| هل (س − أ) عامل؟ | هل د(أ) = ٠؟ | نعم ⇒ عامل |
| باقي القسمة على (س + أ) | عوّض −أ | (س + ٣) ⇒ د(−٣) |
| مجال دالة نسبية | المقام ≠ ٠ | س ≠ ٤ |
| مجال جذر زوجي | ما تحته ≥ ٠ | س ≥ ٣ |
| الدالة العكسية | بدّل س وص وحل | (س − ٦) ÷ ٢ |
ستتعلم تمييز القطوع المخروطية من معادلاتها واستخراج عناصرها. الفكرة المحورية: شكل المعادلة يكشف نوع القطع — مربعان مجموعان بمعامل واحد دائرة، بمعاملين مختلفين ناقص، مطروحان زائد، ومربع واحد فقط مكافئ.
القطوع المخروطية منحنيات تنتج من قطع مخروط: الدائرة، القطع الناقص، القطع المكافئ، القطع الزائد. والهندسة الإحداثية تدرسها بالمعادلات.
التمييز من الدرجة الثانية: مربعان بمعامل واحد مجموعان دائرة، بمعاملين مختلفين مجموعان ناقص، مطروحان زائد، مربع واحد فقط مكافئ.
اقرأ نوع القطع من المعادلة:
| المعادلة | النوع | العنصر المميز |
|---|---|---|
| (س − أ)² + (ص − ب)² = نق² | دائرة | المركز (أ، ب) |
| س²/٢٥ + ص²/٩ = ١ | قطع ناقص أفقي | جـ² = ٢٥ − ٩ = ١٦ |
| س²/٩ + ص²/٢٥ = ١ | قطع ناقص رأسي | المحور الأكبر على ص |
| س² = ١٢ص | قطع مكافئ يفتح لأعلى | البؤرة (٠، ٣) |
| ص² = −٨س | قطع مكافئ يفتح لليسار | جـ = −٢ |
| س²/٩ − ص²/١٦ = ١ | قطع زائد | جـ² = ٩ + ١٦ = ٢٥ |
ستتعلم العمليات على المتجهات والأعداد المركبة. الفكرة المحورية: المتجه له مقدار واتجاه ويُعامل مركبةً بمركبة، والعدد المركب أ + ب ت يُعامل كمقدار جبري مع ت² = −١.
المتجه كمية لها مقدار واتجاه، يُكتب بمركبتيه ⟨أ، ب⟩، وطوله √(أ² + ب²). والعمليات عليه مركبةً بمركبة، والضرب الداخلي عدد = أ₁أ₂ + ب₁ب₂.
العدد المركب ز = أ + ب ت حيث ت² = −١؛ أ الجزء الحقيقي وب التخيلي. ويُعامل كمقدار جبري عادي مع استبدال ت² بـ −١، والمرافق أ − ب ت يستخدم للقسمة.
متجه أم عدد مركب؟ وما الناتج؟
| العملية | الناتج | مثال |
|---|---|---|
| جمع متجهين | متجه | ⟨١، ٢⟩ + ⟨٣، ٤⟩ = ⟨٤، ٦⟩ |
| ضرب داخلي | عدد (قياسي) | ⟨١، ٢⟩ · ⟨٣، ٤⟩ = ١١ |
| طول متجه | عدد موجب | |⟨٦، ٨⟩| = ١٠ |
| تعامد متجهين | الضرب الداخلي = ٠ | ⟨١، ٢⟩ · ⟨−٢، ١⟩ = ٠ |
| ضرب عدد مركب في مرافقه | عدد حقيقي = أ² + ب² | (٣ + ٤ت)(٣ − ٤ت) = ٢٥ |
| قوى ت | تدور كل ٤ | ت، −١، −ت، ١ |
ستتعلم حساب النهايات والمشتقات والتكاملات الأساسية. الفكرة المحورية: مشتقة س^ن هي ن س^(ن − ١)، وهي تمثل ميل المماس ومعدل التغير اللحظي.
النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب س من عدد. المشتقة د′(س) معدل التغير اللحظي = ميل المماس. التكامل عكس الاشتقاق، والمحدود منه يعطي المساحة تحت المنحنى.
التمييز: النهاية بالتعويض المباشر، فإن ظهر ٠/٠ فحلّل واختصر. والاشتقاق ينزل الأس ويطرح منه ١، والتكامل يرفع الأس ويقسم عليه.
اشتقاق أم تكامل؟ وما معنى المطلوب؟
| المطلوب | الأداة | مثال |
|---|---|---|
| ميل المماس / معدل التغير | المشتقة | د′(أ) |
| السرعة من الموقع | اشتق | ع = ف′ |
| القيم القصوى | د′(س) = ٠ | النقاط الحرجة |
| المساحة تحت المنحنى | تكامل محدود | ق(ب) − ق(أ) |
| الموقع من السرعة | تكامل | ف = ∫ ع دز |
| نهاية صورتها ٠/٠ | حلّل واختصر | لا تعوّض مباشرة |
ستتعلم خصائص الأشكال الهندسية والبرهان والتحويلات. الفكرة المحورية: مجموع زوايا المضلع الداخلية = (ن − ٢) × ١٨٠°، والزاوية المحيطية نصف المركزية المشتركة معها في القوس.
الهندسة الاستدلالية تستنتج خصائص الأشكال من مسلّمات ونظريات: مجموع زوايا المضلع، خصائص المتوازيات، والزوايا في الدائرة. والتحويلات الهندسية: الانعكاس، الدوران، الانسحاب (تحفظ الشكل والقياس)، والتمدد (يغيّر الحجم).
التمييز الأهم في الدائرة: الزاوية المركزية رأسها المركز وتساوي قوسها، والزاوية المحيطية رأسها على الدائرة وتساوي نصف قوسها.
صورة النقطة (س، ص) تحت كل تحويل:
| التحويل | الصورة | مثال (٢، ٥) |
|---|---|---|
| انعكاس حول محور س | (س، −ص) | (٢، −٥) |
| انعكاس حول محور ص | (−س، ص) | (−٢، ٥) |
| انعكاس حول ص = س | (ص، س) | (٥، ٢) |
| دوران ٩٠° عكس عقارب الساعة | (−ص، س) | (−٥، ٢) |
| دوران ١٨٠° | (−س، −ص) | (−٢، −٥) |
| انسحاب بـ (أ، ب) / تمدد بمعامل ك | (س + أ، ص + ب) / (ك س، ك ص) | (٣، ٧) بـ (١، ٢) / (٤، ١٠) بـ ك = ٢ |